群作用
群作用，轨道-稳定化子定理
不妨通过一个简单的例子来引入群作用的概念，恕我直言这个东西真的很神奇
引入
令\(S\)是一个非空集合，我们考虑所有\(S \rightarrow S\)的双射\(f\)所组成的集合，记为\(Perm(S)\)，事实上它关于映射的复合作成 一个群，即\(S\)上的置换群，即\((Perm(s),\circ)\)
接下来考虑群\(G\)上，对于一个特定的元素\(x\in G\)的映射： \(\phi_x: G\rightarrow G,a\mapsto xa\),事实上它是一个双射，对于这一点我们只需证明\(\phi_x\)存在逆映射即可。显然\(\phi_x\)的逆映射就是\(\phi_{x^{-1}}: G\rightarrow G,a\mapsto x^{-1}a\)，
证明： \[ (\phi_x\circ \phi_{x^{-1}})(a)=\phi_x((\phi_{x^{-1}}(a)))=\phi_x(x^{-1}a)=xx^{-1}a=a=Id(a)\\ (\phi_{x^{-1}}\circ \phi_{x})(a)=\phi_{x^{-1}}((\phi_{x}(a)))=\phi_{x^{-1}}(xa)=x^{-1}xa=a=Id(a)\\ \] 其中\(Id\)就表示\(S\rightarrow S\)的恒等映射
那么此时就有\((\phi_x)^{-1}=\phi_{x^{-1}}\) ，故\(\phi_x\)是\(G到G\)的一个双射 \(\square\)
我们很快就注意到\(\phi_x\in Perm(G)\) 。将目光从\(\phi_x\)上再抽象出来一层，我们定义映射\(\phi:(G,\cdot)\rightarrow (Perm(G),\circ),x\mapsto \phi_x\)。这里有点抽象，前者是一个群\(G\)，后者也是一个群，但是它是从一个集合\(G\)当中得到的，在这个集合里我们忽略了\(G\)的运算的结构，只考虑它作为集合的结构，从而得到所有在其上的双射组成的\((Perm(G),\circ)\)
映射的两个对象都是群，令人惊奇的是，事实上\(\phi\)也是一个群同态：
证明：
\(\phi是良定义的:这一点显然\\\)
\(\forall x,y\in G，z\in G\) \[ (\phi_x\circ\phi_y)(z)=x(yz)=(xy)z=\phi_{xy}(z) \] 对于所有的\(z\)都满足该性质，故 \[ \phi_x\circ \phi_y=\phi_{xy} \] 故 \[ \phi(x\cdot y)=\phi(x)\circ \phi(y) \] 故\(\phi\)是\(G\rightarrow Perm(G)\)的一个群同态 \(\square\)
这样的一个神奇的\(\phi\)就是一个群作用。现在我们给出定义如下
定义1
令\(G\)是一个群，\(S\)是一个非空集合，若\(\phi:G\rightarrow Perm(S)\)是一个群同态，那么称\(\phi\)是群\(G\)在集合\(S\)上的一个群作用
在上例中集合\(S\)恰好就是\(G\)本身，但是我们也强调过在\((Perm(G),\circ)\)中我们已经忽略了\(G\)作为群的运算结构而只考虑其集合的结构
从这个定义中我们可以很清晰地看到\(\phi\)作为一个群同态的优美性质，但是实际上还有另外一种等价的定义，它能帮助我们更好地判断一个映射是否为群作用
定义2
令\(G\)是一个群，\(S\)是一个非空集合，如果映射 \[ \sigma: G\cross S\rightarrow S\\\forall a\in G,x\in S,(a,x)\mapsto a\cdot x\\我们记为a作用在x上 \] 满足： \[ e\cdot x=x,\forall x\in S\\(ab)\cdot x=a\cdot(b\cdot x),\forall a,b \in G,x\in S \] 那么称群\(G\)在集合\(S\)上有一个作用 \((a,x)\mapsto a\cdot x\)
仔细观察定义1，\(\phi\)是我们的群作用，是一个\(G\rightarrow Perm(s)\)的映射，现在我们取出一个\(x\)，得到一个\(\phi_x\in Perm(S)\),它又是一个映射（事实上是双射），它作用在\(s\in S\),会得到\(\phi_x(s)\in S\)。整个过程实际上就是在\(G\)中取出一个元素x，在\(S\)中取出一个元素\(s\),也就是对应\(G\cross S\),得到一个\(S\)中的元素，这一过程解释了在定义2中\(\sigma\)为什么是\(G\cross S\rightarrow S\)的映射。
两个定义的联系
下面我们来证明两个定义其实是等价的：
证明:
定义1$$定义2：
首先\(\phi\)确实是\(G\cross S\rightarrow S\)的映射，我们定义双射 \[ \phi_a: S\rightarrow S\\(a,x)\mapsto a\cdot x,a\in G,x\in S\\ \] 则： \[ \forall x\in S,e\cdot x=\phi_e(x)=Id(x)=x,故第一条得证\\\forall a,b\in G,(ab)\cdot x=\phi_{ab}(x)=(\phi_a\circ \phi_b)(x)=\phi_a(\phi_b(x))=\phi_a(b\cdot x)=a\cdot(b\cdot x)\\从而第二条得证 \] 定义2\(\rightarrow\)定义1：
还是定义 \[ \phi: G\rightarrow Perm(S)\\x\mapsto\phi_x\\其中\phi_x: S\rightarrow S\\ s\mapsto x\cdot s,s\in S \] 首先证明\(\phi_x\)确实是一个双射： \[ x\cdot(x^{-1}\cdot s)=(xx^{-1})\cdot s=e\cdot s= s\\x^{-1}\cdot(x\cdot s)=(x^{-1}x)\cdot s=e\cdot s= s \] 故\((\phi_x)^{-1}=\phi_{x^{-1}}\),所以它确实是一个双射。这一结论是由性质1保证的，因为\(e\cdot s=s\)
而由性质2，我们知道\(\phi\)保持运算，所以\(\phi\)是一个\(G\rightarrow Perm(S)\)的群同态，所以\(\phi\)就是群\(G\)在集合\(S\)上的作用 \(\square\)
所以第一条性质是为了保证良定义，第二条性质是为了保证群同态，两者合在一起就是对群作用的定义
这样我们对一个映射就有了判断的条件了，也认识到了其优美的同态性质
同时，如果我们认识到了群\(G\)在集合\(S\)上有一个群作用 \[ (a,x)\mapsto a\cdot x,a\in G,x\in S \] 那么 \[ \phi:G\rightarrow Perm(S)\\x\mapsto a\cdot x \] 就一定是群\(G\)到集合\(S\)的群同态，以及 \[ \forall a\in G,\phi_a是S\rightarrow S的双射 \] （当然\(\phi_a\)不一定是群同态）
群作用的核
群作用的核定义为定义1中同态\(\phi\)的核，即\(Ker\phi\)
故 \[ a\in G是群作用的核\\\Leftrightarrow \phi_a=Id\\ \Leftrightarrow \phi_a(x)=x,\forall x\in S \\\Leftrightarrow a\cdot x=x,\forall x\in S \]
群作用的例子
我们重新审视一下开头讲的例子
群\(G\)在集合\(G\)上的左平移
令 \[ G\cross G\rightarrow G\\x\mapsto ax (1) \] 显然有 \[ ex=x,\forall x\in G\\(ab)x=a(bx),\forall a,b\in G,\forall x\in G \] 所以\((1)\)式给出了一个群作用。这里我们用定义2重新证明了这是一个群作用。
我们考察一下这个群作用的核 \[ a\in G属于群作用的核\\\Leftrightarrow ax=x,\forall x\in G\\\Leftrightarrow a=e \] 故群作用的核为\(\{e\}\),所以\(\phi:G\rightarrow Perm(G)\)是一个单同态。那么显然\(G\cong Im\phi\)。又\(Im\phi<Perm(G)\),所以群\(G\)与集合\(G\)上的一个变换群同构！
如此我们很轻松地就证明了\(Cayley\)定理：任意一个群都同构于某一个集合上的变换群
推论：任意一个有限群都同构于一个置换群
群\(G\)在集合\(G\)上的共轭作用
令 \[ G\cross G\rightarrow G\\x\mapsto axa^{-1} (2) \] 显然有 \[ exe^{-1}=x,\forall x\in G\\ (ab)\cdot x=abxb^{-1}a^{-1}=a\cdot(bxb^{-1})=a\cdot(b\cdot x) \] 故\((2)\)式同样给出了一个群作用，叫做群\(G\)在集合\(G\)上的共轭作用
考察该作用的核 \[ a\in G属于群作用的核\\\Leftrightarrow axa^{-1}=x\\\Leftrightarrow ax=xa\\ \Leftrightarrow a\in \{b\in G|bx=xb,\forall x\in G\}=Z(G) \] 这里\(Z(G)\)称为群\(G\)的中心。得到\(Ker\phi=Z(G)\)。
这里共轭作用比左乘作用的性质要更好一些，因为实际上对于一个作用来说，根据我们之前所说， \[ \phi_a: G\rightarrow G\\x\mapsto axa^{-1}(3) \]
一定是双射，但是却未必是群同态，而共轭作用的每一个\(\phi_x\)都是一个群同态，从而都是群同构
证明：
因为\(\phi_a\)都是双射，我们只需证明它是群同态即可（不是说\(\phi\)是群同态，而是对每一个\(\phi_a\)都是群同态） \[ \forall y,z\in G,\phi_a(yz)=a(yz)a^{-1}=aya^{-1}aza^{-1}=\phi_a(y)\phi_a(z) \] 这就证明了共轭作用下每一个\(\phi_a\)都是群\(G\)到自身的群同构 \(\square\)
我们称群\(G\)到自身的同构映射为自同构(automorphism),而由\((3)\)式定义的同构称为内自同构(inner automorphism) \[ f是群G的内自同构\Leftrightarrow f是G的共轭作用给出的一个自同构 \]
然后我们来研究一些更加深入的东西
轨道-稳定化子定理
轨道
令 \[ \phi:G\rightarrow Perm(s)\\\phi_a(x)=a\cdot x \] 是一个群作用
那么定义\(s\in S\)的轨道\(Orb(s)\)为 \[ Orb(s)=\{s'\in S|\exist x\in G,xs'=s\}=\{xs|x\in G\} \] 也就是\(s\)在所有\(x\)的作用下能到达的点的集合。我们很快就能看到这个定义有什么用
所有元素\(s\)的轨道是集合\(S\)的一个划分，即
证明：
定义集合\(S\)上的一个二元关系 \[ y\sim x\Leftrightarrow \exist a\in G,y=a\cdot x \] 不难验证\(\sim\)是一个等价关系。所以它给出\(S\)上的一个划分 \[ \begin{flalign} \forall x\in S,\bar{x}&=\{y\in S|y\sim x\}\\&=\{y\in S|\exist a\in G,y=a\cdot x\}\\&=\{a\cdot x|a\in G\}\\&=Orb(x) \end{flalign}\\ \] \(\square\)
一些杂谈
我们先来看看\(T\cross X\rightarrow X\)的映射\(\phi\),当然它不一定满足群作用的性质，但是这个结构本身有很多值得研究的东西
不过我们不妨还是定义\((t,x)\mapsto t\cdot x\)
令\(t\in T\)，则集合 \[ \{x\in X|t\cdot x=x\} \] 表示的是在变换t下不变的元素
令\(K\subset T\)，则集合 \[ \{x\in X|\forall t\in K,t\cdot x=x\} \] 表示的是在\(K\)中所有变换\(t\)下都保持不变的x的集合
相对应的，我们以\(x\)为主视角看看
令\(x\in X\),则集合 \[ \{t\in T|t\cdot x=x\} \] 表示的是固定了\(x\)的所有变换t
令\(A\subset X\),则集合 \[ \{t\in T|\forall x\in A,t\cdot x=x\} \] 表示的是固定了A中所有元素\(x\)的t的集合
事实上，只要给定了形如\(T\cross X\rightarrow X\)的映射，我们都能很清晰地指出以上四个集合的内容
现在再回过头来看稳定化子。
稳定化子
定义\(s\in S\)的稳定化子\(Stab(s)\)为 \[ Stab(s)=\{x\in G|xs=s\} \] 也就是固定了元素\(s\)的所有\(x\),实际上也就是上文的第三个集合
Stab(s)<G
证明：
\(\forall x,y\in Stab(s)\),有 \[ x\cdot s=y\cdot s=s \] 从而\(x^{-1}\cdot s=x^{-1}\cdot (x\cdot s)=(x^{-1}x)\cdot s=e\cdot s=s\)（关键步骤）
所以 \[ (yx^{-1})\cdot s=y(x^{-1}\cdot s)=y\cdot s=s \] 故 \[ yx^{-1}\in Stab(s) \] 从而\(Stab(s)<G\) \(\square\)
稍微总结一下我们就能看到一个很眼熟的东西
引理1
令\(\phi:G\rightarrow Perm(S)\)是一个群作用，则 \(\forall x,y\in G,s\in S,x\cdot s=y\cdot s\Leftrightarrow xy^{-1}\in Stab(s)\)
这与
H<G,则\(\forall x,y\in G,xH=yH\Leftrightarrow xy^{-1}\in H\)
是很像的
现在我们知道\(Stab(s)\)里的元素保持\(s\)不变，我们还可以再探究一下其同一个陪集的元素对\(s\)的作用
引理2
\[ \begin{flalign} &aStab(s)=bStab(s) \\&\Leftrightarrow b^{-1}a\in Stab(s) \\&由引理 \\&\Leftrightarrow a\cdot s=b\cdot s \end{flalign} \]
所以同一个陪集里的元素对\(s\)的作用是一样的
从而我们令 \[ \phi:(G/Stab(s))_l\rightarrow Orb(s) \\ aStab(s)\mapsto a\cdot s \] 那么从而我们可以通过引理2的正向推和逆向推得到\(\phi\)的合理性以及单射的性质，又由于\(\phi\)显然是一个满射，从而\(\phi\)是一个双射！
如次我们就证得了
轨道-稳定化子定理
令\(\phi:G\rightarrow Perm(S)\)是一个群作用，则\(\forall s\in S\),存在\((G/Stab(s))_l\)到\(Orb(s)\)的双射
从而\(|Orb(s)|=[G:Stab(s)]\)
若\(G\)为有限群，则有\(|G|=|Orb(s)|*|Stab(s)|\)
举一个形象的例子
二面体群 \(D_{2n}\)，它是由所有正\(n\)边形到自身的对称变换所构成的。对称变换,就是把自身映到自身，而且是保距的。保距指的是，原先距离相同的点，变换后距离仍然相同
\(|D_{2n}|=2n\)
证明：
首先正n边形有n个旋转变换，以及n个对称变换（绕n个对称轴分别翻转），这样就有\(2n\)个元素了，我们要证明只有这些元素
任取正n边形的一个顶点\(s\),考虑其轨道\(Orb(s)\),最多只能到达n个顶点，而n个旋转变换就恰好可以让s到达n个不同顶点，所以\(|Orb(s)|=n\)
然后考虑\(Stab(s)\),我们要保持\(s\)不变，不难发现只有两种变换满足要求，一个是恒等变换，另一个是绕s的对称轴翻转的变换，从而\(Stab(s)=2\)
所以\(|D_{2n}|=|Orb(s)|*|Stab(s)|=2n\) \(\square\)