环论

	子环	环同态	理想
单位元（乘法单位元）	环与子环的单位元无必然关系,即子环不一定有单位元，有也不一定和环的单位元相同 比如\(Z_6\)有单位元1，其子环\((2)\)单位元为4;Z有单位元1，其子环2Z没有单位元	若R有单位元，则\(ImR\)也有单位元，且\(ImR\)的单位元为f(1)(同态满射)	环与子环的单位元无必然关系。即子环不一定有单位元，有也不一定和环的单位元相同
零元（加法单位元）	保持存在且不变	保持存在且不变	保持存在且不变
零因子	无关	同构映射下，零因子保持（若\(a\)为\(G\)的零因子，则\(F(a)为G'\)的零因子），但是在普通环同态下没啥关系	无关

• 零元保持不变是因为它是加法的单位元，而环\(R\)关于加法是做成群的，众所周知群的性质是相当优秀的，无论在子群还是群同态下都保持单位元
• 理想一定是子环，只是在此基础上满足了强吸收性，所以子环的性质它都满足。

环的基本性质

零因子：

环\(R\)中必定存在0元(关于加法的群的单位元),对于 \[ a\neq 0\in R,若\exist b\neq 0,S.T. ab=0 \] 则\(a\)是环\(R\)的左零因子。同理可以定义环\(R\)的右零因子。

若\(a\)既是环\(R\)的左零因子，又是环\(R\)的右零因子，它就是环\(R\)的零因子。

1.1

如果一个环\(R\)有左零因子，它也一定有右零因子

Proof:

注意到若\(a\neq 0\in R\)是左零因子，则\(\exist b\neq 0,ab=0\)，故\(b\)是\(R\)的右零因子。 \(\square\)

该结论将左右零因子的地位反过来也是同理的。

1.2

\(R\)为无零因子环\(\Leftrightarrow R\)中关于乘法的左(右)消去律成立（此处消去律是针对非零元的）

Proof:

\(\Leftarrow:\)

若\(R\)中左消去律成立。若\(a\neq 0\)，有\(ab=0\),则\(a*b=0=a*0\),故由左消去律知\(b=0\),故\(R\)中没有左零因子，同理可得\(R\)中没有右零因子。

\(\Rightarrow:\)

设环\(R\)无左零因子。若有\(ab=ac\),则\(ab-ac=a(b-c)=0\),\(a\neq 0\)时，由\(R\)无左零因子，故\(b-c=0\)，即\(b=c\),左消去律得证。

由环\(R\)无左零因子，故\(R\)也没有右零因子，同理得右消去律成立 \(\square\)

由此我们马上就知道：

1.3

环\(R\)中左右消去律等价

这是因为左消去律成立，就能知道\(R\)是无零因子环，从而\(R\)满足右消去律。反之同理。

单位元：

定义为环\(R\)关于乘法的群的单位元。

即 \[ 若e为R的单位元，则\forall x\in R,ex=xe=x \] 一般默认\(e\neq 0\)

可逆元：

对于\(a\in R\),若\(\exist b\in R,S.T.\) \(ab=ba=e\),则\(a\)是环\(R\)的可逆元

可逆元与零元

\(Z_n中的可逆元与零元\)

1.4

\(\bar{x}\)为\(Z_n\)的可逆元\(\Leftrightarrow\) \((x,n)=1\)

Proof:

\(\bar{x}\)为\(Z_n\)的可逆元\(\Leftrightarrow\) \(\exist \bar{y}\in R,xy\equiv 1(mod n)\) $kZ,xy+kn=1 $ \(\Leftrightarrow\) \((x,n)=1\)

\(\square\)

1.5

\(\bar{x}\)为\(Z_n\)的零因子\(\Leftrightarrow\) \((x,n)\neq 1\)

Proof:

考虑 \[ n=\prod_{i=1}^{k} p_i^{\alpha_i},x=\prod_{i=1}^{d}q_i^{\beta_i} \] 若\((x,n)=d>1\),则\(x(n/d)\equiv 0(mod n)\),故\(x\)为\(Z_n\)的零因子

反之，若\(x\)为\(Z_n\)的零因子,则\(\exist d,xd\equiv 0(mod n)\),即\(n|xd\)

若\((x,n)=1\),则\(n|d\),这与\(d<n\)矛盾。故\((x,n)>1\)

\(\square\)

从而，我们得知，在环\(Z_n\)中， 零因子与可逆元交集为空。这不是偶然

1.6

环\(R\)的可逆元一定不是零因子

Proof:

若\(a\)为环\(R\)的可逆元，且\(a\)为零因子，则\(\exist b\neq 0,ab=0=a0\),又\(a\)为可逆元，由左消去律知\(b=0\),这与\(b\neq 0\)矛盾。

\(\square\)

若\(a\)同时为可逆元，零因子，则与上述结论矛盾。故得可逆元一定不是零因子，零因子一定不是可逆元。

由证明过程不难得到如下推论：

1.6.2

环\(R\)的左右零因子一定不是可逆元

\(Z_n\)的例子仿佛告诉我们虽然两者交集为空，但是覆盖了所有非零元。但是

1.7

事实上两者并不一定覆盖所有非零元。

比如环\(2Z\)没有零因子（毕竟\(Z\)都没有），但是也没有单位元，自然也没有可逆元的说法。

不过事实上在\(R\)为有单位元的有限环的时候还是有点关系的。

1.8

在有单位元的有限交换环\(R\)中，任一不是零因子的非零元一定是可逆元

Proof:

可以设\(R=\{a_1,a_2,...a_n\}\),若\(a_i\neq 0\),且不为零因子，则\(a_iR=\{a_ia_1,a_ia_2,...a_ia_n\}\)的元素两两不等（若\(a_ia_x=a_ia_y\),则\(a_i(a_x-a_y)=0\),由\(a_i\)不为零因子，故\(a_x=a_y\),这与初始条件矛盾），故\(|a_iR|=|R|\),又\(a_iR\subseteq R\)

故\(a_iR=R\)，故\(\exist a_j\neq 0 ,a_ia_j=1\),故\(a_i\)为\(R\)的左逆元。

又\(R\)交换，故\(a_ja_i=1\),从而\(a_i\)为可逆元 \(\square\)

整环：

有单位元，无零因子，交换的环

除环：

至少有两个元素，非零元关于乘法做成群的环

由定义可知除环一定有单位元，无零因子。（非零元关于乘法做成群，必定有单位元，也必定满足封闭性）

域：

交换除环

由除环性质可知，域在除环的基础上加了交换性，从而域一定是一个整环

1.9

有限整环是一个域

Proof:

显然只需证非零元关于乘法做成群即可，又只需证每一个元素可逆。这一点的证明与1.8的证明几乎一样。 \(\square\)

需要注意的是，该证明显然只对有限环成立。

1.10

\(Z_m\)为域\(\Leftrightarrow\) m为素数

Proof：

\(Z_m\)是一个域\(\Leftrightarrow\) \(Z_m\)是一个整环\(\Leftrightarrow\) \(Z_m\)无零因子\(\Leftrightarrow\) \(m\)为素数

第二个等价符号是因为\(Z_m\)本身已经满足可交换和有单位元的性质了

\(\square\)

环的特征

设\(R\)是一个环，如果存在最小的正整数\(n\)，使得 \[ \forall x\in R,nx=0 \] 则称\(n\)为环\(R\)的特征，记为\(ChR\)

若不存在这样的\(n\)，称环\(R\)的特征为无限

不难发现,\(ChR\)就是环内所有元素关于加法的阶的\(Lcm\)

1.11

若\(R\)有单位元，则\(ChR\)等于单位元1关于加法的阶\(n\)

Proof:

显然\(ChR\geq |1|=n\)。

\(\forall x\in R,nx=n(1*x)=(n1)*x=0*x=0\),故\(|x|| n\)

从而\(ChR\leq n\)

从而\(ChR=n\) \(\square\)

1.12

若环\(R\)无零因子，则\(R\)中所有非零元关于加法的阶都相同，从而\(ChR\)等于任意非零元的关于加法的阶。另外，此时\(ChR\)为素数

Proof:

若\(R\)中所有元素的阶都是无限的，该结论显然正确。

否则\(\exist x\in R,|x|=n\)为一个有限正整数。从而\(nx=0\)。此时 \[ \forall y\neq 0 \in R,x*(ny)=(nx)*y=0*y=0 \] 又环中无零因子，从而\(ny=0\)，从而\(|y|\leq |x|\)

此时\(|y|\)也有限，我们交换一下x，y的位置马上得到：\(|y|\geq |x|\)

从而\(|x|=|y|\)。从而\(R\)中所有非零元关于加法的阶都相同。

接下来证明第二个子结论。若\(\exist 1<k,t<n\in Z,k*t=n\),即\(n\)为一个合数，

\(\forall x\in R^{*},x^2\in R\),从而\(|x|=|x^2|=n\),故 \[ 0=n*x^{2}=kt*x^{2}=(kx)(tx)=0 \] 又\(R\)没有零因子，故\(kx=0或tx=0\),这与\(|x|=n\)矛盾。

从而\(n\)为素数

\(\square\)

不难得到以下推论

1.13

整环的特征为素数，从而域的特征为素数

子环

定义：

设\(S\)是环\(R\)的非空子集，若\(S\)关于\(R\)的加法，乘法也做成环，则\(S\)是环\(R\)的子环

判定

2.1

若\(S\)是环\(R\)的非空子集，则\(S\)是\(R\)的子环的充要条件： \[ \forall a,b\in S\\ \begin{flalign} &(1)a-b\in S,\\&(2)ab\in S \end{flalign} \]

Proof:

条件(1)与\(S\)关于加法做成群等价。接下来证\(S\)是半群即可。\(R\)已经满足运算的合理性，结合律，我们只要封闭性即可。这一点由(2)保证，且是等价的。

\(\square\)

循环环的子环：

2.2

循环环的子环\(\Leftrightarrow\) 循环环的加法子群

Proof：

设\(R=(a)=\{ka|k\in Z\}\)为循环环

\(\Leftarrow:\)

\(S\)为\(R\)的子群，则\(\exist l\in Z,S=(la)=\{k(la)|k\in Z\}\),从而 \[ \forall k_1(la),k_2(la)\in R,k_1(la)*k_2(la)=k_1k_2l^2a^2\\ a^2\in R,故\exist s\in Z,sa=a^2\\ 从而\\ k_1(la)*k_2(la)=k_1k_2ls(la)\in (la)=S \] 故\(S\)关于乘法封闭。显然\(S\)关于加法做成群，故\(S\)是\(R\)的子环。

\(\Rightarrow:\)

显然

\(\square\)

子环关于交的封闭性

2.3

环\(R\)的若干个子环的交仍是子环。将子环换成子整环，子除环，子域显然也是正确的。

这个不证了。

从而我们可以引出生成子环的概念。至于为什么生成子环是由该性质引出的，看证明就能明白。

生成子环

设\(T\)是\(R\)的一个非空子集，若\(R\)的子环\(S\)满足 \[ \begin{flalign} &(1) T\subseteq S\\ &(2) \forall S'<R且T\subseteq S',S\subseteq S' \end{flalign} \] 则\(S\)称为\(T\)生成的子环，记为\(S=[T]\)

2.4 生成子环的存在性

Proof:

我们需要对于一个集合\(T\),其生成子环总是存在的，并且满足上述性质。概括一下就是包含\(T\)的最小子环。可以取所有包含\(T\)的子环的交，先证其最小，再证其为子环。

记\(\{S_i|i\in I\}\)为包含\(T\)的子环集合。显然\(T\subseteq R,R为环\),故\(\{S_i|i\in I\}\)非空。

取\(S=\bigcap_{i\in I}S_i,S\)的最小性显然。注意到 \[ \forall i\in I,T\subseteq S_i \] 故 \[ T\subseteq \bigcap_{i\in I}S_i=S \] 又\(S\)是若干个子环的交，故\(S\)是一个子环。从而\(S\)是包含\(T\)的最小子环，\(S=[T]\)

存在性得证,且 \[ [T]=\bigcap_{i\in I}S_i \] \(\square\)

生成子环[T]的元素形式

任取\(t_1,t_2,...t_k\in T\),则 \[ \pm t_1t_2...t_k\in [T] \] 从而由子环对加法的封闭性知 \[ \{\sum \pm t_1t_2...t_k|t_i\in T,k\in Z^{+}\}\subseteq [T] \] 又不难证明 \[ \{\sum \pm t_1t_2...t_k|t_i\in T,k\in Z^{+}\}是一个子环 \] 且显然它包含\(T\)。由\([T]\)的最小性可知 \[ [T]\subseteq \{\sum \pm t_1t_2...t_k|t_i\in T,k\in Z^{+}\} \] 从而 \[ [T]= \{\sum \pm t_1t_2...t_k|t_i\in T,k\in Z^{+}\} \] 这就是生成子环\([t]\)的元素形式。

2.5

当\(T=\{a\}\)时, \[ [T]=\{\sum n_ia^{i}|i\in Z^{+},n_i\in Z\} \]

环同态

其实与群同态是类似的，要求映射满足加法保持运算，乘法保持运算即可。

性质：

• 0元保持不变
• 像的逆等于逆的像

以上两条由加法群同态保证.若f是一个\(R\)到\(R'\)的满射，则

• 若\(R\)是交换群，则\(R'\)也是交换群
• 若\(R\)有单位元1，则\(R'\)也有单位元\(f(1)\)

以上四条的逆均未必成立。

3.1

构造\(Z_n\)到\(Z_m\)的环同态

Start:

环同态首先是群同态，由此我们需要满足： \[ \begin{flalign} &(1) f(0)=0\\ &(2) nf(1)\equiv 0(mod m) \end{flalign} \] 此时只需要保证\(f\)关于乘法保持运算即可。

下面给出在加法满足群同态的情况下f关于乘法保持运算的充要条件： \[ f(1)\equiv f^{2}(1)(mod m) \] Proof:

\(\Leftarrow:\)

已知\(f(1)\equiv f^{2}(1)(mod m)\)，\(\forall x,y\in R\) \[ \begin{flalign} f(xy)&=f(\underbrace{(1+1+...+1)}_{x个}*y)=f(\underbrace{y+y+...+y}_{x个}) \\&=xf(y)=x(yf(1))=xyf^{2}(1)=(xf(1))(yf(1))=f(x)f(y) \end{flalign} \] \(\Rightarrow:\)

已知\(\forall x,y\in R,f(xy)=f(x)f(y)\)

带入\(x=y=1\)即得证。

\(\square\)

从而，f是\(Z_n\)到\(Z_m\)的充要条件为： \[ \begin{flalign} &(1) f(0)=0\\ &(2) nf(1)\equiv 0(mod m)\\ &(3) f(1)\equiv f^{2}(1)(mod m) \end{flalign} \] End

理想

从理想开始就算是正式进入环论了。

定义

设\(I\)是环\(R\)的一个非空子集，若 \[ \begin{flalign} &(1) \forall a,b\in I,a-b\in I\\ &(2) \forall a\in I,\forall b\in R,ab,ba\in I \end{flalign} \] 则称\(I\)是环\(R\)的理想

显然理想必定是子环，但是子环不一定是理想。

任意一个非零环\(R\)都含有\(\{0\}和R\)本身这两个理想，它们称为平凡理想。除此之外的理想称为\(R\)的真理想。

单环

4.1

设\(R\)是一个有单位元的环，\(R\)的每一个真理想都不可能含有单位元

Proof:

设\(I\)是\(R\)的一个真理想。若\(1\in I\)，则 \[ \forall x\in R,x=1*x\in I \] 从而\(I=R\),这与\(I\)是\(R\)的真理想矛盾。 \(\square\)

不含有真理想的环\(R\)称为单环

4.2

除环，域都是单环

Proof:

设\(I\)是域\(F\)的一个真理想,则\(\exist x\in I,x\neq 0\)

从而\(x\in I,x^{-1}\in I,xx^{-1}=1\in I\),这与4.1的结论矛盾。（这里用到了\(F^{*}\)是一个群，从而保证逆元存在，这一点除环和域是一样的）

从而\(I\)不是\(F\)的真理想。 \(\square\)

4.3

设\(R\)是一个有单位元\(1\)的交换环。若\(R\)没有非平凡的理想，则\(R\)是一个域

Proof:

要证\(R\)是一个域，我们现在只需要证明\(R^{*}\)关于乘法做成群即可。如此只需要验证乘法封闭性以及每一个非零元的可逆性即可。

注意到可逆元一定不是非零元，从而保证了乘法封闭。

所以我们只需验证每一个元素可逆即可。

任取\(a\in R\),考虑 \[ aR=\{ar|r\in R\} \] 显然该集合关于加法做成群。且 \[ \forall ar\in aR,x\in R\\ \exist d\in R,d=rx=xr \] 从而 \[ (ar)*x=a*(rx)=ad\in aR\\ x*(ar)=(xr)*a=ad\in aR \] 故\(aR\)是\(R\)的一个理想。又\(R\)不含真理想，且\(a\in aR\),从而\(aR=R\)

故 \[ \exist x\in R,ax=xa=1 \] 从而\(a\)可逆。由此我们证得每一个非零元都是可逆的。

故\(R\)是一个域。 \(\square\)

这种算是一个常见套路了。通过构造环的左陪集=环本身来证明元素的可逆性，这一点在这里和证明有限整环是域的时候都用过。只不过之前是用无零因子来证明相等，而这里使用无真理想来证明，实际上也推出了无零因子

从4.2和4.3我们不难得到下述结论

4.4

这\(R\)是一个有单位元的交换环，则\(R\)是域当且仅当\(R\)没有非平凡理想，即\(R\)是单环

证明从略。

理想关于交的封闭性

环\(R\)的若干个理想的交仍是理想

证明从略。

理想它首先是一个子环，所以子环的很多结论它都是可以对应过来的。那么跟子环一样，我们同样在这里可以导出生成理想的概念

生成理想

设\(T\)是环\(R\)的一个非空子集，若存在\(R\)的理想\(I\),使得 \[ \begin{flalign} &(1) T\subseteq I\\ &(2) \forall I'是R的理想,且T\subseteq I',有I\subseteq I' \end{flalign} \] 则\(I\)称为集合\(T\)的生成理想。记为\(I=(T)\)

生成理想的存在性

我们很快注意到这一块跟子环是完全类似的。证明的思路也是一模一样。

先证包含\(T\)的理想总是存在，再构造\(I=\bigcap_{i\in I}I_i\),其中\(I_i\)的意义就是包含\(T\)的所有理想。证明\(I\)的最小性和以及它是一个理想即可。

设\(T=\{a_1,a_2....a_n\}\),则记理想\((T)=(a_1,a_2,...a_n)\).当\(T=\{a\}\)时，称\((T)=(a)\)为\(a\)生成的主理想。

再来看看理想关于和的封闭性。

理想关于和的封闭性

4.5

设\(I_1,I_2\)为\(R\)的两个理想，则\(I_1+I_2\)也是理想。

Proof：

\(\forall x,y\in I_1+I_2,\forall r\in R\),记\(x=x_1+x_2,y=y_1+y_2\),其中\(x_1,y_1\in I_1,x_2,y_2\in I_2\).则 \[ x-y=x_1+x_2-y_1-y_2=(x_1-y_1)+(x_2-y_2)\in I_1+I_2\\ rx=r(x_1+x_2)=rx_1+rx_2\in I_1+I_2\\ xr=(x_1+x_2)r=x_1r+x_2r\in I_1+I_2\\ \] 从而\(I_1+I_2\)是\(R\)的理想 \(\square\)

进而得到下述结论：

4.6

设\(a_1,a_2,..a_n\in R\),

则\((a_1,a_2,...a_n)=(a_1)+(a_2)+...+(a_n)\)

Proof:

记\(I_1=(a_1,a_2,...a_n),I_2=(a_1)+(a_2)+...+(a_n)\)

\(\forall a_i,a_i\in (a_i)\subseteq I_2\)

又\(I_1\)是包含所有\(a_i\)的最小理想，故\(I_1\subseteq I_2\)

又\((a_i)\)是包含\(a_i\)的最小理想，故\(\forall i\in [1,n],(a_i)\subseteq I_1\)

由理想对加法的封闭性，\(I_2\subseteq I_1\)

故\(I_1=I_2\) \(\square\)

理想与主理想的关系

根据4.6，我们得到如下结论：

每一个理想都是若干个主理想之和

有了以上铺垫，我们就可以来探究生成理想的元素形式了。

生成理想的元素形式

由于4.6的结论，实际上我们只需要探究主理想的元素形式。

给出结论

在\(R\)中，\((a)=\{\sum x_iay_i+sa+at+na|x_i,y_i,s,t\in R ,n\in Z\}\)

4.7

若\(R\)是一个有单位元的环，则 \[ (a)=\{\sum x_iay_i|x_i,y_i\in R\} \] 若\(R\)是一个交换环，则 \[ (a)=\{\sum ra+na|r\in R,n\in Z\} \] 若\(R\)是一个有单位元的交换环，则 \[ (a)=\{ra|r\in R\}=aR=Ra \]

循环环的理想：

在子环中已经讲过，循环环的子环等价于循环环关于加法的子群，事实上，循环环的子环也一定是理想，且为主理想。

4.8

循环环的理想都是主理想

设\(I\)是循环环\(R=(a)\)的理想,则\(I\)也是\(R\)的加法子群，故\(I=(sa)\)

下证\(I就是sa\)生成的主理想

\(sa\)生成的主理想 \[ <sa>=\{r(sa)+n(sa)|r\in R,n\in Z\} \] 显然\(<sa>\subseteq I\)

又 \[ \forall x=m(sa)\in I,x=0*(sa)+m*(sa)\in <sa> \] 故\(I\subseteq <sa>\)

故\(I=<sa>\) \(\square\)

从而

在循环环中，子环\(\Leftrightarrow\)理想\(\Leftrightarrow\)主理想

4.9

设\(f\)是\(R\)到\(R'\)的一个环同态满射。\(I\)是环\(R\)的子集，\(I'\)是环\(R'\)的子集

则: \[ \begin{flalign} &(1) 若I是环R的理想，则f(I)是环R'的理想\\ &(2) 若I'是环R’的理想，则f^{-1}(I')是环R的理想，且Kerf\subseteq f^{-1}(I')& \end{flalign} \]

证明不难，可以看书的课后习题 3.4 9

但定理告诉我们，理想在同态满射下是保持的。并且需要指出的是，第二条结论并不需要满射的条件。

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商环

同群论中由不变子群引出商群一样，利用理想的概念，我们就可以引出商环的概念了。

设\(I\)是环\(R\)的一个理想，那么记 \[ R/I=\{a+I|a\in R\} \] 为\(R/I\)的商集。

定义运算为: \[ (a+I)+(b+I)=(a+b)+I\\ (a+I)*(b+I)=(ab)+I\\ \] 容易验证，\(R/I\)关于新定义的乘法和加法做成环，故称它是环\(R\)关于理想\(I\)的商环。

\(R/I\)中的元素也可以称为模\(I\)的同余类，这一点可以通过\(Z\)中\(Z/(n)\)来理解

考虑 \[ n\in Z,(n)=\{kn|k\in Z\} \] 则 \[ Z/(n)=\{x+(n)|x\in Z\}=\{a+nk|k\in Z\} \] 此时\(Z/(n)\)的实际含义是模\(n\)的剩余类了，即 \[ Z/(n)=\{\overline{0},\overline{1},....\overline{n-1}\} \] 从而模的意义得以体现。

eg：习题3.4 8

环同态基本定理

5.1

环同态基本定理：

设\(f:R\rightarrow R'\)是一个环同态映射，则\(Kerf=\{x\in R|f(x)=0'\}\)是环\(R\)的理想，且在\(R/Kerf\)到\(R'\)之间存在唯一的单同态映射满足\(f=f_{*}\circ \phi\),其中\(\phi\)为自然同态 \[ f_{*}:R/Kerf\rightarrow R'\\ x+Kerf\mapsto f(x) \] 当\(f\)为满射的时候，\(R/Kerf\cong R'\)

5.2 环同构第一定理

5.3 环同构第二定理

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设\(R[x]\)是实数域\(\mathbb{R}\)上的多项式环，\(I=(x^2+1)\)，则 \[ R[x]/I\cong \Complex \] Proof:

构造 \[ \phi:R[x]\rightarrow \Complex\\ f(x)\mapsto f(i) \] 容易证明\(\phi\)是一个满同态映射从而 \[ R[x]/Ker\phi \rightarrow \Complex \] 考虑证明\(Ker\phi=(1+x^2)\) \[ Ker\phi=\{f(x)|f(i)=0\} \] 从而\(i\)是\(f(x)=0\)的一个根，由于实系数多项式方程的复根是成对出现的，所以\(-i\)也是该方程的一个根

从而 \[ (1+x^2)|f(x),\forall f(x)\in Ker\phi \] 即 \[ f(x)=(1+x^2)g(x),g(x)\in R[x] \] 从而 \[ Ker\phi\subseteq (1+x^2) \] 至于另一个方向，只要把\(i\)代入即可。从而 \[ Ker\phi=(1+x^2) \] \(\square\)

这个东西其实还是有点套路的，比如说，考虑有理数域\(\mathbb{Q}\)上的多项式环\(Q[x]\),我们构造 \[ \phi:Q[x]\rightarrow R\\ f(x)\mapsto f(\sqrt(2)) \] 容易验证\(\phi\)是一个环同态（当然它不是满同态，因为\(\sqrt(3)\in \mathbb{Q}\)，但它不属于\(Img\phi\)）,而 \[ Ker\phi=\{ f(x)|f(\sqrt(2))=0 \} \] 这与上一道题的思路是极其类似的，由于\(\sqrt(2)\)是方程的一个根，那么\(-\sqrt(2)\)也是方程的一个根，从而不难证明 \[ Ker\phi=(x-(\sqrt(2))^2)=(x-2) \]

素理想与极大理想

素理想

如果\(P\)是环\(R\)的一个理想，并且满足 \[ \forall a,b\in R,若ab\in P,则a\in P,或b\in P \] 则\(P\)是环\(R\)的一个素理想

对于素理想的判定：

对于一个有单位元的交换环\(R\),若\(P\)是环\(R\)的一个理想，且\(P\neq R\)，则 \[ P是环R的素理想\Leftrightarrow R/P是一个整环 \] 证明略

6.1

从而，我们考虑整数环下的素理想

我们知道，若\(P\)是整数环\(R\)的一个素理想，首先有\(P\)是循环群，从而\(P=(m)\),于是根据上一判定定理， \[ Z/P=Z/(m)=Z_m是一个整环\Leftrightarrow m是一个素数 \] 从而，整数环除自身外的所有素理想为\(\{(m)|m是素数\}\)

我猜这可能也是素理想这个名字的由来？因为整数环中对应的理想都是素数生成的主理想hhh

我们继续考虑如下问题。令\(F\)是一个域，\(F[x]\)是\(F\)上的多项式环，考虑 \[ \phi:F[x]\rightarrow F\\ f(x)\mapsto a_0 \] 根据环同态的知识，我们不难验证\(\phi\)是一个环同态满射，从而有 \[ F[x]/Ker\phi\cong F \]

不难验证 \[ Ker\phi=(x) \] 从而 \[ F[x]/(x)\cong F \] 这是一个普适结论。更深入的，\(F\)是一个域，那么它当然是一个整环，于是我们得到

6.2

若\(F\)是一个域，F[x]是F上的多项式环，则\((x)\)是\(F[x]\)的素理想

极大理想

设\(M\)是环\(R\)的一个理想，并且\(M\neq R\),若 \(\forall R\)的理想N满足 \[ M\subseteq N\subseteq R \] 都有\(N=M\)或\(N=R\)，则称\(M\)是环\(R\)的一个极大理想

简单来说，就是\(R\)中不存在能完全包含\(M\)的真理想

根据定义我们很快就能知道，一个环\(R\)可以有多个极大理想，但是事实上并不是每一个环都有极大理想 

看看极大理想的判定定理，它与素理想的判定定理是极为类似的

6.3 极大理想的判定定理

对于一个有单位元的交换环\(R\),若\(P\)是环\(R\)的一个理想，且\(P\neq R\)，则 \[ P是环R的极大理想\Leftrightarrow R/P是一个域 \]

证明略

该定理启示我们可以通过极大理想来构造一个域

还是来看看整数环的极大理想长什么样子

若\(P\)是整数环\(R\)的一个极大理想，首先有\(P\)是循环群，从而\(P=(m)\),于是根据判定定理， \[ Z/P=Z/(m)=Z_m是一个域\Leftrightarrow m是一个素数 \] 跟整数环的素理想是同一个集合\(\{(m)|m是素数\}\),当然这也说明了一个环确实可以有多个极大理想

此外，根据素理想与极大理想的判定定理，两者唯一的区别就是一个的除环是整环，而另一个的除环是域，而显然域一定是一个除环，所以：

6.4

一个有单位元的交换环\(R\)的极大理想一定是它的素理想

注意这里的前提是有单位元的交换环

6.5

设\(R=2\mathbb{Z}\)是偶数环，\(p\)是素数，问\((2p)\)是否为\(R\)的极大理想，是否为\(R\)的素理想

\(R\)是一个无单位元的交换环，所以\((2p)=\{2p*2k+2p*s|k,s\in Z\}=\{2kp|k\in Z\}\)

下面证明\(\forall p\)为素数，\((2p)\)是\(2\mathbb{Z}\)的极大理想

首先显然\((2p)\neq 2\mathbb{Z}\),若有\(R\)的理想\(M\)，使得\((2p)\subseteq M\subseteq R\)

当\((2p)\subset M\)时，\(\exist x\in M,x=2k,x\notin (2p)\),从而\(p\)不整除\(k\),从而\((x,p)=1\),从而 \[ \exist s,t\in Z,xs+pt=1 \] 则 \[ (2x)s+(2p)t=2 \] 由于\(2x,2p\in M\)，从而\(2\in M\).又\(M\)是循环群\(2\mathbb{Z}\)的理想，所以\(M\)也是一个循环群，又\(2\in M\)，所以\(M=(2)=R\)

从而\((2p)\)是环\(R\)的极大理想 （感觉有点难想）

接下来考虑素理想

当\(p=2\)时,\((2p)=(4)\)，由\(2*2=4,2\notin (2p)\)可知，\((4)\)不是\(R\)的素理想

当\(p>2\)时，若\(2k*2l\in (2p),则2p|4kl\)，从而\(p|k\)或\(p|l\),从而\(2k\in (2p)\)或\((2l)\in (2p)\)，从而\((2p)\)是素理想